数列の群に関する問題の解法 - 奇数列の末項と総和の求め方

この問題は、正の奇数列を特定の方法で群に分けた際の末項（ln）と、その群内の奇数の総和（Sn）を求める問題です。この記事では、数列の群分けとそれに関連する計算方法を丁寧に解説します。

問題の設定

問題では、正の奇数の列1, 3, 5, 7, 9, 11, …を特定の法則に基づいて群に分けています。それぞれの群は、最初に1個、次に3個、次に5個といった具合に奇数個ずつ増えていきます。このような群分けに関する問題は、数列の理解を深めるための良い例です。

また、各群の末項をlnとし、それに基づいて問題を解いていきます。問題は以下の二つの問いに分かれています。

まず、群ごとの奇数の個数が次第に増えていくことに着目します。第1群には1個、第2群には3個、第3群には5個、…となり、群ごとの奇数の個数は2n-1であることが分かります。

例えば、第1群の奇数は1個、第2群の奇数は3個、第3群の奇数は5個、という具合に増えていきます。そして、最初のn個の奇数を含む各群の末項lnは、次のように表すことができます。

ln = n^2

これは、各群に含まれる奇数の数が増えていくことにより、末項がn^2の関数として現れるためです。

次に、各群に含まれる奇数の総和Snを求める方法を説明します。Snは、各群に含まれる奇数を足し合わせた合計値です。第n群に含まれる奇数の個数は2n-1で、総和は以下の式で表されます。

Sn = (2n-1) × n

この式により、各群の総和Snを求めることができます。例えば、n=3の場合、第3群には5個の奇数があり、その総和は5×3=15となります。

実際に第1群、第2群、第3群の例で計算してみましょう。第1群では、奇数1つがあり、Snは1となります。第2群では、奇数が3つあり、Snは3×2=6となります。第3群では、奇数が5つあり、Snは5×3=15となります。

このように、各群のSnを順に求めることができます。また、全体の総和を求める場合は、各Snを加算することで、全体の合計を計算できます。

この問題では、正の奇数列を群に分け、それぞれの群の末項lnと総和Snを求める方法を解説しました。群分けの法則に従い、順を追って計算を進めることで、解答を得ることができます。この問題を通じて、数列の性質を理解し、計算の方法を学ぶことができます。