高校数学：円の対称性と直線との共有点問題の解法

高校数学の問題で、円C1とその対称円C2、そして直線y＝tとの共有点に関する問題があります。ここでは、2つの円と直線が交わる点の数を求める問題です。問題を解くためには、円と直線の方程式をうまく組み合わせて考える必要があります。

問題の概要

円C1の方程式は(x-6)^2 + (y-8)^2 = 4です。また、円C2は、円C1が直線y = xに対して対称な円です。これら2つの円が直線y = t（tは定数）と交わる点を求める問題です。まずは、円C2の方程式を求めることが必要です。

円C1は、中心が(6, 8)、半径が2の円です。円C2は、円C1が直線y = xに対して対称であるため、円C1の中心(6, 8)を直線y = xに関して反転させた点が円C2の中心になります。直線y = xに対して反転させることで、円C2の中心の座標が(8, 6)となります。

したがって、円C2の方程式は(x – 8)^2 + (y – 6)^2 = 4です。この2つの円の方程式が求まりました。

次に、直線y = tが円C1および円C2と交わる点の数を求めます。直線y = tをそれぞれの円の方程式に代入していきます。

円C1の方程式にy = tを代入すると、(x – 6)^2 + (t – 8)^2 = 4となります。これを解くことで、直線y = tと円C1の交点を求めます。同様に、円C2の方程式にもy = tを代入し、交点を求めます。

直線y = tが2つの円のそれぞれと4つの共有点を持つためには、直線y = tがそれぞれの円に2点で交わる必要があります。したがって、tの値が特定の範囲にあるときに、直線y = tが4つの共有点を持つことがわかります。具体的な計算によって、tの範囲を求めます。

最後に、求めた4つの共有点P、Q、R、Sについて、2つの線分PQとRSの長さを求めます。これらの長さを求めるためには、各点の座標を計算し、座標間の距離を求めます。PQとRSの長さの和を求めることで、問題の解答となります。

この問題では、円と直線の交点を求めるために、円の対称性を理解し、直線の方程式を代入して計算を進めました。tの範囲を求め、共有点を求めることで、最終的に線分PQとRSの長さの和を計算することができました。数学の問題を解くには、細かい計算をしっかり行い、必要な条件を満たすように進めることが重要です。