整数解の問題である「50x + 23y = 5」の解法を考える際、kの部分が同じ数になる理由について解説します。この問題は、線形ディオファントス方程式の解法に基づいています。
問題の整理
与えられた方程式 50x + 23y = 5 について、整数解を求める問題です。このような方程式は、線形ディオファントス方程式と呼ばれ、解法は比較的シンプルですが、少し理解が必要です。
一般的な解法のステップ
まず、この方程式が整数解を持つかどうかを確認するために、50と23の最大公約数（GCD）を求めます。50と23は互いに素な数なので、GCDは1です。したがって、この方程式は解を持つことが確定します。
次に、ユークリッドの互除法を使って、50x + 23y = 1 の解を求め、最終的に 50x + 23y = 5 の解を得る方法に進みます。
解法の詳細なステップ
ユークリッドの互除法により、50x + 23y = 1 の解を求めます。まず、50 = 23 * 2 + 4、23 = 4 * 5 + 3、4 = 3 * 1 + 1 という形で進め、最終的に 50 * (-9) + 23 * 21 = 1 という解を得ます。
次に、この解を5倍すれば、50x + 23y = 5 の解を得ることができます。つまり、x = -45 + 23k, y = 105 + 50k という形になります。この解の形では、kが任意の整数であるため、解が無限に存在することが分かります。
kの意味と同じ数になる理由
この解法において、kは整数であり、xとyの値が全て整数であるためには、kを整数としておく必要があります。kが同じ数になる理由は、一般的に線形ディオファントス方程式の解がこのような形になるからです。kを任意の整数にすると、無限に多くの解を得ることができます。
まとめ
「50x + 23y = 5」の整数解は、kという整数を使って表現されます。kの部分が同じ数になる理由は、線形ディオファントス方程式の解が一般的にこの形で表されるためです。解法の過程でユークリッドの互除法を用いて、整数解を求める方法を学びました。
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