この問題では、整数nに対してn²を7で割ったときの余りが0、1、2、4のいずれかになることを証明する方法について説明します。そのために、まず整数nを7で割った余りに基づいてnの一般的な形を求めます。
1. 整数nを7で割った余りの可能性
任意の整数nは、7で割った余りによって次の5種類の形に分けられます。
- n = 7k
- n = 7k + 1
- n = 7k + 2
- n = 7k + 3
- n = 7k + 4
ここで、kは整数です。このように、nは整数kを用いて7k, 7±1, 7±2, 7±3の形に表されます。これは「整数nを7で割った余りが0, 1, 2, 3, 4のいずれかである」という事実に基づいています。
2. n²の7での余りを求める
次に、これらの形におけるn²の余りを求めます。まず、n = 7kの場合、n²は(7k)² = 49k²であり、49は7の倍数なので余りは0です。
次に、n = 7k + 1の場合、n²は(7k + 1)² = 49k² + 14k + 1であり、余りは1です。同様に、他のケースでもn²の余りを求めます。
3. 余りのパターン
上記の計算結果から、n²の余りは次のようになります。
- n = 7k → 余りは0
- n = 7k + 1 → 余りは1
- n = 7k + 2 → 余りは4
- n = 7k + 3 → 余りは2
- n = 7k + 4 → 余りは2
このように、n²を7で割った余りは、0、1、2、4のいずれかであることが分かります。
4. まとめ
整数nを7で割った余りによってn²の余りが決まります。具体的には、nは7k, 7±1, 7±2, 7±3のいずれかの形に表され、その場合のn²の余りは0、1、2、4となります。このように、整数の割り算の余りに基づいて計算することで、n²の余りがどのような値を取るかを理解することができます。
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