関数f（θ）=sinθ−θ＋（θ^3）/6の区間−1≦θ≦1における最大値Mおよび最小値mの求め方

この問題では、関数f（θ）=sinθ−θ＋（θ^3）/6が与えられ、区間−1≦θ≦1における最大値Mと最小値mを求めることが求められています。以下にその解法を詳しく解説します。

1. 関数の定義と区間

与えられた関数はf(θ) = sin(θ) – θ + (θ³)/6です。この関数は、θが−1から1までの範囲で定義されています。まずは、関数の性質を理解するために、微分を用いて極値を求めます。

関数の最大値と最小値は、通常、微分して得られる臨界点で評価することが多いです。

まず、f(θ)の導関数f'(θ)を計算します。f'(θ) = cos(θ) – 1 + (θ²)/2です。この式が0になるθを求めます。

f'(θ) = 0 → cos(θ) – 1 + (θ²)/2 = 0となり、この式を解くことで臨界点を求めます。

f'(θ) = 0の解を求めると、θ = 0が一つの解となります。さらに、θ = -1とθ = 1でもf'(θ)の値を確認して、それらが極値に該当するかを確かめます。

これにより、最大値と最小値を決定できます。臨界点を区間−1≦θ≦1における値として評価します。

各臨界点と端点θ = −1, 0, 1でのf(θ)の値を計算し、それらの中で最大のものが最大値M、最小のものが最小値mとなります。

例えば、f(-1), f(0), f(1)をそれぞれ計算し、最大値と最小値を求めます。

この問題では、関数の微分を用いて臨界点を求め、その後、区間内の端点で関数の値を評価することで最大値Mと最小値mを求めました。数学的な手法を用いることで、複雑な関数の最大・最小値を正確に求めることができます。