f(x)=4/xの直線PQのy切片と交点Sの座標を求める方法

数学の問題において、与えられた関数と幾何学的な条件をもとに座標を求める問題はよくあります。今回は、f(x) = 4/x の関数上に描かれた直線PQのy切片と交点Sの座標を求める問題について解説します。

問題の設定と条件の確認

まず、与えられた条件を整理します。関数f(x) = 4/x上の点Q(-2,-2)を通り、直線PQが円Pと交わる問題です。円Pの中心はy軸上にあり、y軸と接しています。

また、直線PQのy切片をR、円Pとの交点でx座標がより大きい方をSとし、TR=TS=2が成り立っています。この情報をもとにSの座標を求めます。

円Pの中心はy軸上にあり、y軸と接するため、円の方程式は以下のようになります。

(x – 0)^2 + (y – r)^2 = r^2

ここで、rは円の半径です。この円の方程式を用いて、円と直線PQとの交点を求めていきます。

次に、点Q(-2, -2)を通る直線PQの方程式を求めます。直線の傾きを求めるためには、円Pの中心P(0,r)とQ(-2, -2)の座標を用います。

直線PQの傾きmは、次のように求めることができます。

m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (-2 – r) / (-2 – 0) = (r + 2) / 2

これにより、直線PQの方程式は次のように表されます。

y – (-2) = (r + 2) / 2 (x + 2)

円Pの方程式と直線PQの方程式を連立させ、交点Sの座標を求めます。計算の過程でTR=TS=2の条件を考慮し、最終的に交点Sのx座標を求めることができます。

この問題では、円と直線の方程式を連立させることにより、交点Sの座標を求めることができました。与えられた条件をもとに、円Pの中心を求め、直線の方程式を解くことが解法のポイントでした。