この問題では、n個のボタンがあり、その順序を完全に特定するまでに必要なボタン押下回数の期待値を求めます。問題の構造と求める期待値の計算方法について解説します。
問題の背景と設定
問題は、n個の区別可能なボタンB₁, B₂, …, Bₙがあり、それらのボタンを使って正しい順序πを特定する過程を考えています。各段階で、押したボタンが正しいかどうかが通知され、不正解の場合は再試行せず、次の段階に進みます。このような状況で、順番を完全に特定するために必要な期待値を求めることが目標です。
各段階で正解が通知されるまで、試行錯誤が続きます。この過程では、1回目の選択、2回目の選択と進むごとに選べるボタンが減少していきます。
期待値を求めるアプローチ
この問題の鍵となるのは、ボタンを押す順番がどのように影響するかを理解することです。初めはすべてのボタンが選べますが、進むごとに「正解」と判定されるボタンが増え、それによって残りのボタン数が減ります。この過程を数学的にモデル化することで、期待される押下回数を計算することができます。
まず、n個のボタンがある状態で、正しい順番がわからない場合の初期状態を考えます。最初のボタンを押した場合、正解が得られる確率は1/nとなります。次に、2番目のボタンを押す確率は1/(n-1)となり、これが続きます。このような過程を繰り返し、最終的に全てのボタンが正解されるまでにかかる回数の期待値を計算します。
具体的な期待値の計算方法
各段階での期待値は、選択したボタンが正解である確率に基づいて求められます。具体的には、最初に正しいボタンを押す確率は1/nであり、その期待値はn回となります。次に、残りのn-1個のボタンの中で正しいボタンを選ぶ確率は1/(n-1)となり、その期待値はn-1回となります。このようにして、期待値の合計を求めます。
最終的に求める期待値は、次の式で表されます。
E(X) = n + (n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n+1)/2
まとめ：並び順特定に要する期待値
ボタンの順番を完全に特定するために必要な期待値は、n個のボタンがある場合にn(n+1)/2回です。これは、各段階で正しいボタンが選ばれる確率を考慮した計算から導かれた結果です。数学的なアプローチによって、試行錯誤の過程を理解し、期待される回数を求めることができます。
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