増加関数の定義と不連続性：増加関数は不連続でも成立するか？

増加関数に関する数学的な定義において、「不連続でも増加している場合、増加関数として成立するのか？」という質問はよくあります。本記事では、この問題に対する解答と、その背後にある数学的な理論について解説します。

増加関数とは

増加関数とは、定義域内でその関数値が増加または一定である関数を指します。具体的には、任意のx1 < x2に対して、f(x1) ≤ f(x2)が成立する関数です。増加関数は連続である必要はなく、単にその範囲内で値が増加していれば良いのです。

増加関数は連続である必要はありません。つまり、関数が不連続であっても、その関数が増加していれば、増加関数として定義することができます。具体的には、関数のある点でジャンプがあったり、無限大に飛ぶような不連続性を持っていても、増加している範囲内では増加関数として扱えます。

例えば、階段関数のように不連続である関数でも、区間ごとに増加している場合、その関数は増加関数として定義することができます。階段関数では、ある区間内で値が一定に保たれ、その後急激に増加しますが、このような動きでも増加関数の定義に合致します。

増加関数が不連続でも成立する理由は、その関数が連続でなくても関数値が増加または一定であれば、増加関数としての定義を満たすからです。したがって、不連続であることは増加関数の成立に対して重要な障害ではなく、その定義に影響を与えることはありません。