増減表を使った関数の増減を示す方法【f(X) = X³ + 3X² + 4X − 2】

中学や高校の数学の問題で、関数の増減を求める問題はよく出てきます。今回は、関数 f(X) = X³ + 3X² + 4X − 2 の増減を示す方法について解説します。特に、増減表を使ってその関数が常に増加することを証明します。

増減表とは

増減表とは、関数の増減を視覚的に示すための表で、関数の導関数を使って関数の増減を調べる際に使用します。関数が増加している区間や減少している区間を求めるためには、まず導関数を求め、その符号を調べる必要があります。

まず、与えられた関数 f(X) の導関数を求めます。導関数は以下のように計算できます。

f'(X) = 3X² + 6X + 4

次に、導関数 f'(X) = 3X² + 6X + 4 の符号を調べていきます。これは、関数が増加している区間や減少している区間を決定するために重要です。

f'(X) = 3(X² + 2X + 4) という式ですが、X² + 2X + 4 は常に正の値を取ることがわかります（判別式が負であるため）。したがって、f'(X) は常に正であり、関数 f(X) は全ての X について増加します。

増減表を作成するためには、導関数の符号を使います。この場合、f'(X) は常に正なので、関数は全区間で増加します。増減表は次のようになります。

Xの値	f'(X)	増減
全てのX	正	増加

関数 f(X) = X³ + 3X² + 4X − 2 は、全ての X に対して増加しており、増減表を使ってその増加を確認することができました。問題文で増減表を書くことが求められている場合、このように導関数を使って増減の区間を明確に示すことが重要です。