lim[x→-∞] e⁻²ˣ という極限について、異なる解釈があるようです。具体的には、e⁻²⁽⁻∞⁾ = e^∞ = ∞ とする説と、e⁻²ˣ = 1/e²ˣ = 1/e⁽⁻∞⁾ = 0 とする説があります。この記事では、どちらが正しいのか、またその理由を詳しく解説します。
極限の確認：e⁻²ˣの挙動
まず、問題となっている式は e⁻²ˣ の極限です。x → -∞ という条件下では、e⁻²ˣ の挙動はどうなるのでしょうか？ここでの重要なポイントは、指数関数の性質にあります。e⁻²ˣ は、x が負の無限大に近づくと、指数の値が非常に大きな正の値になることです。
具体的に考えると、e⁻²ˣ の場合、x が -∞ に近づくと、2x は無限に小さくなり、e⁻²ˣ の値は 0 に近づきます。したがって、lim[x→-∞] e⁻²ˣ は 0 になります。
誤解と正しい解釈
質問にあるように、e⁻²⁽⁻∞⁾ = e^∞ = ∞ という解釈がありますが、これは誤りです。e⁻²ˣ の場合、x が -∞ に向かうと、指数関数の底が小さくなるため、e⁻²ˣ の値はゼロに収束します。e^∞ = ∞ という式が成立するのは、正の指数を持つ場合であり、負の指数の場合にはゼロに収束します。
したがって、「e⁻²ˣ = e^∞ = ∞」という考え方は間違いであり、正しい極限値は 0 です。
1/e²ˣ = 1/e⁽⁻∞⁾ = 0 の正当性
一方で、e⁻²ˣ = 1/e²ˣ という式を考えるとき、x → -∞ の場合、確かに e⁻²ˣ は 0 に収束します。これは、1/e²ˣ の形になっても同様で、x が -∞ に近づくことで e²ˣ は非常に大きな数になるため、1/e²ˣ は 0 に収束することがわかります。
つまり、1/e²ˣ = 1/e⁻²ˣ = 0 という極限の解釈は正しいものであり、x → -∞ において確実に 0 になります。
まとめ
lim[x→-∞] e⁻²ˣ の極限は 0 であることが正解です。e⁻²ˣ の場合、x が -∞ に向かうと、指数が無限に小さくなり、結果としてその値は 0 に収束します。e⁻²⁽⁻∞⁾ = e^∞ = ∞ という解釈は誤りであり、適切な理解は、1/e²ˣ = 0 のように、負の指数の時にゼロに収束するというものです。
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