さいころを使った確率問題の分散を求める方法

今回は、数学Bの確率問題を解いてみましょう。この問題では、さいころを1回振って出た目に応じて賞金が変動し、その賞金Xについて分散を求める問題です。問題を解くために必要なステップを一つ一つ解説します。

問題の内容

1個のさいころを振って、出た目に応じて賞金が決まります。具体的な賞金は以下の通りです。

このとき、得られる賞金をX円とし、Xの分散を求める問題です。

まず、さいころを1回投げたときの目が出る確率を整理します。さいころの目は1から6まであり、各目の確率は均等ですので、各目が出る確率は1/6です。これを元に賞金Xに対応する確率を計算します。

この確率分布を使って、次にXの期待値を計算します。

期待値E(X)は、各賞金の金額にその確率を掛けて合計することで求めます。

E(X) = 100 * (2/6) + 60 * (1/6) + 150 * (3/6)

計算すると、E(X) = 100 * 1/3 + 60 * 1/6 + 150 * 1/2 = 100/3 + 60/6 + 150/2 = 33.33 + 10 + 75 = 118.33円です。

分散は、各値と期待値の差を2乗して確率を掛けたものの合計です。つまり、分散V(X)は以下のように求めます。

V(X) = Σ[ (X – E(X))^2 * P(X) ]

計算を行うと。

V(X) = (100 – 118.33)^2 * 1/3 + (60 – 118.33)^2 * 1/6 + (150 – 118.33)^2 * 1/2

これを計算すると、V(X) = 369.44円²となります。

この問題を通じて、さいころを使った確率問題の分散を求める方法について理解できたかと思います。確率分布から期待値を求め、さらに分散を求めることで、賞金Xのばらつきを数値化しました。今回の問題では、確率の計算と統計的な手法を使いこなすことが大切でした。