1998年度阪大理系数学の前期第2問について：微分方程式と帰納法の解法

1998年度の阪大理系数学の前期第2問について、微分方程式や帰納法を用いた解法に関してよくある疑問を解決します。問題に取り組む際のアプローチや、定数pの扱いについて解説します。

1. 微分方程式と帰納法の関係

この問題では、微分方程式を使う解法もありますが、帰納法を使うことで問題を解決することもできます。微分方程式を使用する場合、式の形を整理して、適切な手順を踏むことで解を求めることができますが、帰納法では、まず基底部分の確認から始めて、次に仮定を立てて、n=kからn=k+1に進むというプロセスを繰り返します。

2. 定数pの扱いについて

問題で出てくる定数pは、式の中で重要な役割を果たします。帰納法で解く場合、この定数pをどう扱うかが鍵となります。まず、n=2のケースを確認して、定数pがどのように影響を与えるかを理解しましょう。n=2のときに成り立つかどうかを確認するためには、実際に手順を進めてみることが大切です。

3. 帰納法のステップ

帰納法を使う場合、最初にn=1の時に式が成立することを確認し、次にn=kの時に成立することを仮定して、n=k+1においても成立することを示します。このプロセスを繰り返すことで、n=2のときに成り立つかどうかを確認することができます。

4. 結論とアドバイス

定数pの扱いがわからない場合、問題を分解して段階的に進めることが有効です。まずn=2で成り立つかどうかを確認し、その後n=kの仮定に基づいて次に進みましょう。また、微分方程式を使う方法もありますが、帰納法を使って解く方が適切な場合もあります。