9t⁴-15at²+4(a²+1)=0の解の範囲を求める方法

この記事では、数学の問題「9t⁴-15at²+4(a²+1)=0」の解法について詳しく解説します。この式がt>0の範囲に2つの異なる解を持つためのaの範囲を求める方法をステップバイステップで説明します。

問題の設定と式の変換

与えられた式は、9t⁴ – 15at² + 4(a²+1) = 0 です。この式を解くためには、まずt²を新しい変数Xに置き換える方法が有効です。t² = Xと置き換えることで、式は次のように変換されます。

9X² – 15aX + 4(a² + 1) = 0

これにより、t²の項がXの二次方程式に変換され、解を求めやすくなります。

二次方程式 9X² – 15aX + 4(a² + 1) = 0 の解を求めるためには、判別式を使用します。二次方程式の判別式Dは次のように定義されます。

D = b² – 4ac

ここで、a = 9, b = -15a, c = 4(a² + 1) ですので、判別式Dを計算すると以下のようになります。

D = (-15a)² – 4(9)(4(a² + 1)) = 225a² – 144(a² + 1)

D = 225a² – 144a² – 144 = 81a² – 144

この判別式が非負であることが、2つの異なる解が存在するための条件です。つまり、D ≥ 0 となるaの範囲を求める必要があります。

D ≥ 0 を解くことで、aの範囲を求めます。

81a² – 144 ≥ 0 となります。これを解くと、次のように式が整理されます。

81a² ≥ 144

a² ≥ 144 / 81

a² ≥ 16 / 9

a ≥ ±4/3

したがって、aが±4/3であるときに解が存在し、t > 0の範囲に2つの異なる解が得られます。aが±4/3以上の範囲では、二次方程式は解を持つことが確定します。

このように、数学の問題での解法は式変換と判別式を利用することで、効率的に求めることができます。