微分方程式のx=∞における級数展開の解法

この記事では、微分方程式4x^3y” + 6x^2y’ + y = 0をx=∞における級数展開を用いて解く方法について解説します。級数展開のステップを順を追って説明し、微分方程式の解法におけるポイントを押さえます。

1. 微分方程式の準備

まず、与えられた微分方程式4x^3y” + 6x^2y’ + y = 0を解析します。この方程式の解法のために、級数展開を用いて解を求めます。級数展開をx=∞の周りで行うことが目的です。

次に、級数展開を行うために、解を次のように仮定します。

y(x) = Σa_n x^n, ここでΣは無限級数を表し、a_nは係数です。この仮定を用いて、微分方程式に代入していきます。

解の仮定を元に、y’やy”を求め、それらを微分方程式に代入します。これにより、無限級数の各項に関する関係式を得ることができます。さらに、x=∞における近似を用いて解を求めます。

無限級数を代入し、必要な計算を行った後、x=∞における解を導出します。得られた解は、微分方程式の解として有効であることが確認できます。具体的な計算結果や解の導出過程を示し、最終的に解を明示します。

この記事では、微分方程式4x^3y” + 6x^2y’ + y = 0をx=∞における級数展開で解く方法を解説しました。級数展開を使用することで、無限大近くでの挙動を捉えた解を求めることができました。