高校受験数学：サイコロを振って6が初めて出る回数の期待値の求め方

高校受験の数学問題でよく出題される「サイコロを振って6が初めて出る回数の期待値」を求める問題について解説します。これを理解するには、確率と期待値の基本的な考え方を押さえることが重要です。

1. 期待値の定義

期待値とは、ある事象が起こる平均的な回数や結果を示す値です。簡単に言うと、ある現象を繰り返し行った場合に、その結果がどの程度の平均値に収束するかを求めるものです。この問題では、サイコロを何回振ると初めて6が出るか、その回数の期待値を求めます。

問題の解法には、再帰的なアプローチを使います。サイコロを振って6が初めて出る回数を「E」と置きます。1回目に6が出た場合、その回数は1回で終わります。1回目に6が出ない場合、もう1度振る必要があり、再び同じ期待値E回の投げる回数が必要となります。

したがって、以下のような式が成り立ちます。

E = 1 × (1/6) + (1 + E) × (5/6)

この式を解くと、以下のようになります。

E = (1/6) + (5/6) × (1 + E)

これを整理して、Eの値を求めます。

E = 6

つまり、サイコロを振って初めて6が出る回数の期待値は6回です。

次に、モーターの回転数やプーリー径を変更した際にどうなるかという問題についても解説します。プーリー径を変更すると、回転数に影響が出るため、計算式を適切に調整する必要があります。これについては、比率を用いて新しい回転数を求める方法を適用します。

サイコロを振って6が初めて出る回数の期待値は、計算式を使って求めることができました。このような問題では、再帰的な思考を使い、状況ごとの確率を組み合わせて期待値を求める方法が有効です。