この問題では、関数 f(x) = -x^3 + ax^2 + bx の極値を求める方法と、その後の平行移動に伴う面積の計算を行います。まず、関数が x = 2 で極値 6 を取る条件を用いて、a と b の値を求め、その後に関数のグラフが x 軸方向に -4 だけ平行移動した場合の面積を求める問題に取り組みます。
問題の整理と解答へのアプローチ
まず、与えられた関数 f(x) = -x^3 + ax^2 + bx について考えます。x = 2 で極値 6 を取るという条件から、関数の導関数を求め、極値条件を使用して a と b の値を求めます。
その後、平行移動後の曲線 C2 の面積を求めるために、積分を用いて 2 つの曲線で囲まれた部分の面積を計算します。
（1）a, b の値の求め方
まず、f(x) の導関数 f'(x) を求めます。f(x) = -x^3 + ax^2 + bx の場合、f'(x) = -3x^2 + 2ax + b です。
次に、x = 2 で極値が発生するためには f'(2) = 0 である必要があります。これを使って、a と b の関係式を得ることができます。
さらに、f(2) = 6 という条件から、a と b の具体的な値を求めることができます。f(2) = -2^3 + a(2)^2 + b(2) = 6 という式を立てて解くと、a と b の値が求まります。
（2）平行移動後の面積の求め方
次に、曲線 C1 = f(x) を x 軸方向に -4 だけ平行移動した曲線 C2 を考えます。平行移動した後の関数は f(x + 4) となります。
C1 と C2 の間で囲まれた領域の面積を求めるためには、積分を用います。まず、C1 と C2 の交点を求め、その範囲で積分を行います。
積分の計算と面積の求め方
交点を求めるために、f(x) = f(x + 4) の式を立て、解くことで交点を求めます。その後、交点を使って、2 つの関数の間の面積を積分で計算します。
積分式は、積分範囲を交点の x 座標に設定し、f(x) – f(x + 4) を積分することで面積を求めることができます。
まとめ
この問題では、まず与えられた条件から関数 f(x) の極値を求め、その後、曲線の平行移動とその面積を計算する方法について説明しました。極値の求め方、導関数の利用、そして積分を用いた面積の計算方法を理解することで、さまざまな数学的な問題に応用できる知識を得ることができます。
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