ax^2 + bx + c = a(x – α)(x – β) の成り立ちについて

この式は、二次方程式の因数分解に関するものです。ax^2 + bx + c = a(x – α)(x – β) は、与えられた二次方程式を因数分解する一つの方法です。この記事では、この式がどのように成り立つのか、その理論的な背景を解説します。

二次方程式の標準形

まず、一般的な二次方程式の標準形についておさらいします。二次方程式は、ax^2 + bx + c = 0 の形で表されます。ここで、a, b, c は定数で、a ≠ 0 です。

この標準形を使って、与えられた問題に対して因数分解を行う方法を見ていきます。

因数分解の考え方

因数分解の基本的な考え方は、二次方程式を (x – α)(x – β) の形に分解することです。この形に分解することで、方程式の解が簡単に求められるようになります。

ここで、α と β は二次方程式の解、すなわち方程式 ax^2 + bx + c = 0 を満たす x の値です。

因数分解の手順

ax^2 + bx + c を (x – α)(x – β) の形に分解するためには、まず与えられた方程式の解 α と β を求めます。これを解の公式や因数分解を用いて計算することができます。

次に、(x – α)(x – β) の形に因数分解します。これを展開すると、x^2 – (α + β)x + αβ となります。この式を元の二次方程式と比較すると、係数が一致することがわかります。

なぜ a(x – α)(x – β) という形になるのか

上記で示したように、(x – α)(x – β) を展開した結果、得られる式は x^2 – (α + β)x + αβ です。しかし、もとの方程式では a がかかっていますので、この式全体に a を掛けることによって、元の方程式 ax^2 + bx + c の形が得られます。

したがって、ax^2 + bx + c = a(x – α)(x – β) という形が成り立つのです。

実際の計算例

例えば、a = 1, b = -5, c = 6 の場合、解の公式を用いて解を求めると、α = 2, β = 3 となります。このため、(x – 2)(x – 3) という因数分解が得られ、これを展開すると x^2 – 5x + 6 となり、元の式と一致します。

このように、因数分解を行うことで、二次方程式の解を簡単に求めることができ、式の成り立ちが理解しやすくなります。

まとめ

ax^2 + bx + c = a(x – α)(x – β) の式は、二次方程式の因数分解によって成り立ちます。解の公式や因数分解の方法を使って、この式を展開し、解の意味を理解することが重要です。二次方程式を因数分解することで、解が簡単に求められると同時に、式の構造がよく理解できるようになります。