3次方程式 x³ – 3x² – px – 1 = 0 の解法：pの値と他の解を求める方法

本記事では、3次方程式 x³ – 3x² – px – 1 = 0 が 2重解 -1/2 を持つときの実数 p の値と他の解を求める方法を解説します。この問題は、高校数学の範囲でよく扱われる内容で、代数的な手法を用いて解を導きます。

問題の設定と必要な条件

まず、3次方程式 x³ – 3x² – px – 1 = 0 が与えられています。この方程式には、2重解として -1/2 が含まれているとされています。これを用いて、pの値を求め、その他の解を見つける必要があります。

ステップ1：因数分解を試みる

2重解 -1/2 を含むということは、(x + 1/2) が因数であることがわかります。まず、方程式を (x + 1/2) の2乗ともう一つの因数に分解する方法を考えます。

式を整理すると、x³ – 3x² – px – 1 = (x + 1/2)² (x – a) という形になることがわかります。この式を展開し、係数比較を行います。

ステップ2：pの値を求める

展開した結果と元の式の係数を比較すると、p = 15/4 という値が得られます。この値は、2重解を持つために必要な条件を満たしています。

ステップ3：他の解を求める

次に、残りの解を求めます。残りの解は、x = 4 であることが分かります。この解は、(x – a) の部分の解として求められます。

まとめ

本記事では、与えられた3次方程式 x³ – 3x² – px – 1 = 0 が 2重解 -1/2 を持つときの p の値とその他の解を求める方法を解説しました。p = 15/4 と他の解 x = 4 という結果を得るために必要な手順を詳細に説明しました。