この問題では、与えられた2つのベクトルaとbに垂直で、大きさが√14のベクトルpを求める方法について解説します。まず、ベクトルa = (1, −1, 1) と b = (1, −2, 1) の外積が (3, 2, −1) であることがわかっています。この外積を利用して、ベクトルpを求める手順を順を追って説明します。
1. 外積の意味と計算方法
ベクトルaとbの外積は、aとbに垂直なベクトルを得るために用いられます。この外積の結果 (3, 2, −1) は、aとbに垂直なベクトルの方向を示しています。このベクトルの大きさを求めることで、pの向きが決まります。
外積の計算方法は、次の式に基づきます。a × b = |a||b|sinθを使うことで、aとbの成分に基づく外積ベクトルを求めることができます。最終的に、(3, 2, −1) という結果が得られました。
2. ベクトルpの大きさと方向を求める
問題文では、ベクトルpがaとbに垂直で、大きさが√14であることが要求されています。まず、外積から得られる方向をベクトルpに適用し、大きさを調整します。ここでは、外積の結果のベクトル (3, 2, −1) を正規化して、√14の大きさに合わせます。
ベクトルの正規化を行うことで、最終的なベクトルpを得ることができます。具体的には、外積の大きさを求め、その大きさを√14に合わせるためのスケーリングを行います。
3. 実際の計算と解法のステップ
最初に、(3, 2, −1) の大きさを計算します。これを求めることで、どれくらいのスケーリングを行う必要があるかがわかります。大きさは次のように計算できます。
大きさ = √(3² + 2² + (−1)²) = √(9 + 4 + 1) = √14。ここで、大きさは√14なので、このベクトルをそのまま使用して大きさを変更する必要はありません。次に、pの方向を決定し、その方向にスケーリングを行います。
4. まとめ
最終的に、ベクトルpは外積によって得られるベクトル (3, 2, −1) の方向に沿っており、スケーリングによって大きさが√14になるように調整されます。これにより、問題で求められている条件を満たすベクトルpが求められます。
この問題の解法を通じて、外積の使い方と、与えられた条件に基づいてベクトルを調整する方法を学ぶことができました。
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