この問題では、xについての二次式を平方完成する方法を学びます。平方完成とは、二次式を簡単に理解できる形、特に(x + b)²の形式に変形する手法です。ここでは、x² + 2(a+2)x + a² + 3a + 1という式を平方完成します。
平方完成の基本的な手順
平方完成を行うには、まず二次式を適切な形に整理します。一般的な手順は以下の通りです。
- 2次の項の係数が1になるように整理する。
- 1次の項の係数の半分を二乗し、その数値を加減する。
- それにより式を(x + b)²の形に変形する。
具体的な解法
与えられた式：x² + 2(a+2)x + a² + 3a + 1 を平方完成します。
まず、x² + 2(a+2)x の部分を注目します。この式では、1次項の係数が2(a+2)です。1次項の係数の半分はa+2です。その値を2乗して加減することで、式を平方完成する準備をします。
次に、式は以下のように変形できます。
x² + 2(a+2)x + (a+2)² - (a+2)² + a² + 3a + 1
この式を整理すると、次のようになります。
(x + a + 2)² - (a+2)² + a² + 3a + 1
最終的な平方完成された式
式を最終的に整理すると次のようになります。
(x + a + 2)² + (a² + 3a + 1) - (a+2)²
ここで、(a² + 3a + 1) と (a+2)² をさらに整理して完成形に持っていきます。このステップで最終的な形が得られます。
まとめ
平方完成は、二次式をより簡単に扱える形に変形するための重要な手法です。この問題では、与えられた式を適切に整理して平方完成することができました。平方完成をしっかりと理解すれば、他の複雑な二次式にも対応できるようになります。
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