数学の重複順列問題 – 解説と考え方

数学の問題では、特に重複順列や場合の数を扱う問題がよく出てきます。この問題は、数字を繰り返し使ってn桁の整数を作る場合に関するものです。質問者が混乱しているのは、特定の値を引く部分の理由が分からないという点です。この記事では、なぜそのような計算が必要なのか、具体的に解説します。

問題の理解とアプローチ

問題の最初に、「0, 1, 2, 3の4つの数字を使い、n桁の整数を作る」という条件がありますが、まずは「0を1回以上使う」点に注目しましょう。最初に出発点を理解することが重要です。問題文で「最高位の数字は0以外」という条件がありますので、最初の桁の選び方には3通りの選択肢があると考えられます。

数式の導き方

この問題を解くためには、まず最高位の数字の選び方が3通りであることを認識しましょう。そして、残りの桁については4通りの選択肢（0,1,2,3）から選ぶことになります。この場合、最初の桁を選んだ後、残りの桁の選び方に制限はなく、0も含めて4通りの選択肢が可能です。したがって、最初に3を掛け、その後に4^(n-1)を掛ける式になります。

0を使わない場合の計算

問題文では「0を使わない場合」とありますので、0を使わない場合、各位の数字は1, 2, 3のいずれかになります。この場合、各桁に3通りの選択肢があるので、n桁の整数では3^n通りの組み合わせが可能です。これを総数から引くことで、0を1回以上使う整数の数を求めることができます。

なぜ引くのか？

質問者が疑問に思っているのは、なぜ「0を使わない整数」を引かなければならないのかという点です。この理由は、最初の式で計算された数に「0を使わない整数」の数を含んでしまっているからです。従って、これを引くことで、条件を満たした正しい答えが得られます。

まとめ

この問題は、まず「0を使う条件」と「最高位の数字に制限がある条件」をしっかり理解することが大切です。その後、適切に選び方の数を求め、重複しないように引き算をして最終的な答えを導きます。この考え方を理解すれば、同様の問題にも対応できるようになります。