微分方程式 2x²y'' - xy' + (1 - x²)y = x² の一般解の求め方

微分方程式を解くことは、数学の中でも重要な技術です。本記事では、次の微分方程式の一般解を求める方法について詳しく解説します。

2x²y” – xy’ + (1 – x²)y = x²

1. 微分方程式の整理と変形

まず、与えられた微分方程式を整理します。2x²y” – xy’ + (1 – x²)y = x² という式は、非同次線形微分方程式です。この形式は、まず同次部分と非同次部分に分けて考えます。

まず、同次部分は次のようになります。

2x²y” – xy’ + (1 – x²)y = 0

同次微分方程式を解くためには、通常、変数分離法や特性方程式を使います。ここでは、変数変換を行って解く方法を紹介します。

まず、xに関する解法を見つけるために、y = x^rという形を試してみます。これを微分方程式に代入し、rの値を求めます。その結果、r = ±1が得られます。このため、同次方程式の一般解は次のように求められます。

y_h = c₁x + c₂/x

次に、非同次項x²を含む非同次微分方程式を解きます。通常、非同次の解は、同次解に特解を加えることで得られます。ここでは、特解の形を仮定して、非同次部分の解を求めます。

特解として、y_p = Ax²の形を仮定し、これを微分方程式に代入してAの値を求めます。その結果、A = 1/2が得られ、特解は次のように求められます。

y_p = (1/2)x²

同次解と特解を合わせると、微分方程式の一般解が得られます。最終的な一般解は、次のようになります。

y(x) = c₁x + c₂/x + (1/2)x²

微分方程式 2x²y” – xy’ + (1 – x²)y = x² の一般解は、同次部分と非同次部分をそれぞれ解くことによって求めることができます。解法の過程では、特性方程式と変数変換を使い、同次解と特解を組み合わせることで最終的な解が得られました。

この方法を他の微分方程式にも応用することで、より多くの問題を解くことができます。