数学の解析において、極限の計算は非常に重要な役割を果たします。特に、xが0に近づくときの関数の挙動を調べることは、微分積分学における基礎的な課題です。この記事では、(x^k)×sin(1/x) と (x^k)×cos(1/x) のx→0における極限を求める方法について解説します。これらの式において、kが負でない整数である場合の挙動を具体的に説明します。
問題の概要と重要なポイント
まず、与えられた式は以下の2つです。
- (x^k) × sin(1/x)
- (x^k) × cos(1/x)
これらの関数がx→0の極限をどのように取るかを調べる問題です。重要な点は、sin(1/x) や cos(1/x) がx→0で振動することです。したがって、x→0の際にこれらの関数がどのように影響するのかを解析する必要があります。
sin(1/x)とcos(1/x)の挙動
sin(1/x) と cos(1/x) は、xが0に近づくときに非常に高速で振動します。このため、これらの関数は無限に振動することがわかっています。しかし、それらの絶対値は常に1以下です。
したがって、これらの関数の振動が極限計算に与える影響を考慮すると、x→0のときの挙動を評価するためには、(x^k) という項との積をどのように扱うかが鍵となります。
(x^k)×sin(1/x) と (x^k)×cos(1/x) の極限を求める
まず、(x^k) × sin(1/x) と (x^k) × cos(1/x) におけるx→0の極限を評価します。x→0のとき、sin(1/x) と cos(1/x) の絶対値は1以下であるため、これらの関数は以下のように扱うことができます。
|sin(1/x)| ≤ 1 および |cos(1/x)| ≤ 1
このことを踏まえて、各式を次のように評価します。
(x^k) × sin(1/x) の絶対値は、|x^k| × 1 = |x^k| となります。
同様に、(x^k) × cos(1/x) の絶対値も、|x^k| × 1 = |x^k| となります。
これらの評価により、x→0のときに、x^k の絶対値が0に収束することがわかります。特に、kが負でない整数である場合、x^kは0に収束します。
結論：極限の評価
結論として、x→0のときに、(x^k)×sin(1/x) および (x^k)×cos(1/x) は、kが負でない整数の場合、両方とも0に収束します。これは、sin(1/x) と cos(1/x) の振動があっても、x^k の項がx→0で収束するためです。
したがって、次のように表されます。
lim(x→0) (x^k) × sin(1/x) = 0 および lim(x→0) (x^k) × cos(1/x) = 0
まとめ
このように、x→0における微分可能な関数の極限を求める際には、関数の振動やその他の項がどのように影響するかを考慮することが重要です。特に、sin(1/x) や cos(1/x) のような振動関数は、x^k の収束と組み合わせることで、極限を求める際の重要な要素となります。
今回の問題においては、kが負でない整数の場合、両方の式の極限は0に収束することが確認できました。数学の極限を計算するための基本的なテクニックを理解することで、より複雑な問題にも対応できるようになります。
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