数学の因数分解問題に取り組んでいるとき、特に複雑な項が含まれる場合、計算がどこでどのように進んでいるのかを理解することが非常に重要です。この問題では、75x²−30xy+3y²の式が与えられ、解答として3(5x−y)²が示されています。しかし、その過程で「−10xy」という項が消えてしまうことに疑問を抱くことがあるでしょう。この記事では、その解法と計算過程をわかりやすく説明します。
75x²−30xy+3y²の式を因数分解する方法
まず、与えられた式75x²−30xy+3y²を因数分解してみましょう。この式の中で、共通の因数を見つけて計算を進めていきます。
式の最初のステップとして、まず最初に「75x²」と「3y²」の係数がそれぞれ3で割れることに気づきます。これを使って式全体を3で割ります。
75x² − 30xy + 3y² = 3(25x² − 10xy + y²)
このように式を簡略化することで、因数分解を進めやすくなります。
中間項の−10xyをどう扱うか
次に、式25x² − 10xy + y²を因数分解します。この式を因数分解するためには、まず平方完成を行います。
25x² − 10xy + y²は、(5x − y)²という形に因数分解できます。具体的には、以下のように計算します。
(5x − y)² = (5x)² − 2×5x×y + y² = 25x² − 10xy + y²
このように、−10xyの項が(5x − y)²の展開で現れるため、−10xyという項は消えるのではなく、自然にこの形に含まれているのです。
解答の確認と最終的な形
したがって、元の式75x² − 30xy + 3y²は、次のように因数分解できます。
75x² − 30xy + 3y² = 3(25x² − 10xy + y²) = 3(5x − y)²
これで、式が正しく因数分解されていることが確認できます。−10xyの項が消えるわけではなく、(5x − y)²の展開に含まれていることがわかります。
まとめ
数学の因数分解では、項がどのように変化し、どのようにして計算が進んでいくのかをしっかりと理解することが大切です。この問題では、共通因数を取り出して式を簡略化し、その後平方完成を使って因数分解を行うことができました。計算過程を理解することが、問題を解く鍵となります。
もし、因数分解や平方完成に関してさらに質問があれば、問題を細かく分けて解説していくと、理解が深まります。
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