√2が無理数であることの証明について

√2が無理数であることの証明は、多くの数学の基礎的な理論において重要な位置を占めています。この記事では、√2が無理数である証明と、それに関する基本的な考え方を解説します。また、質問者が挙げたh→0のhが有理数でも絶対に有理数にならない点についても触れます。

1. √2が無理数である証明の基本

√2が無理数であることの証明は、最も基本的な無理数の証明方法であり、背理法を使います。まず、√2が有理数だと仮定します。有理数は、p/qの形（pとqは整数、q≠0）で表すことができるため、仮に√2 = p/q と仮定します。

次に、この式を二乗して、2 = p²/q² となり、p² = 2q² となります。ここから、p²が2の倍数であることがわかり、pもまた2の倍数であることが導かれます。これを代入していくと、最終的に矛盾が生じるため、√2は有理数でないことが証明されます。

質問者の述べた「h→0のhが有理数でも絶対に有理数にならない」という点は、微積分における極限の考え方に関連しています。確かに、hが有理数であってもその極限が必ずしも有理数であるとは限りません。

これは、実数の連続性と無理数の存在に関する問題で、無理数は無限に続く不規則な小数であるため、無理数の極限値も無理数であることが多いのです。従って、hが有理数であっても、その極限値が無理数である場合があるということです。

√2が無理数である証明は、非常にシンプルな背理法によって示されます。また、h→0の極限に関する問題では、実数の連続性と無理数の性質が関係しており、有理数から無理数への変化が生じることを理解することが重要です。

無理数の証明や極限の理解は、数学の基本的な概念であり、さらなる学習のための礎となります。