高校数学の積分問題：絶対値を外す方法と解法のコツ

高校数学の問題でよく見かける積分の問題に、絶対値を含む式の解法があります。特に、絶対値の中身が変動する場合、その処理方法に悩むことがあるでしょう。この記事では、絶対値を含む積分の問題で、どのようにして正しい答えを導くかを詳しく解説します。

問題の概要

問題では、関数f(x) = 3cos(2x)とg(x) = 7sin(x)の差の絶対値を、区間0からπ/2で積分する問題です。最初に、式を簡単にするために、f(x) − g(x)の微分を使って増減表を作り、正負を判定して絶対値を外すアプローチを試みたとのことです。

しかし、この方法で計算した結果が合わなかった理由を考察します。まず、積分の中で絶対値を扱う場合、直接的に微分して増減表を使う方法ではなく、絶対値関数の取り扱いを工夫する必要があります。

絶対値を含む積分問題では、まず関数f(x) − g(x)が正か負かを判定する必要があります。これを判定するためには、f(x) − g(x)が0になる点を見つけ、その前後で関数の符号がどう変わるかを確認する方法が有効です。

具体的には、f(x) − g(x) = 0となるxの値を求め、区間0からπ/2の範囲でその符号を調べます。これにより、絶対値を外して積分する範囲を適切に設定できます。

まず、f(x) − g(x)の符号を調べるために、f(x) − g(x) = 0の解を求めます。その後、f(x) − g(x)が正または負である区間を確認し、絶対値の関数を適切に分けて積分します。

具体的な手順は以下の通りです。

このように、絶対値を外すためには符号の変化を適切に把握することが重要です。

増減表を使う方法では、f(x) − g(x)が増加または減少する場合を扱うことができますが、絶対値の符号に関しては十分に考慮できていない可能性があります。増減表で得られるのは関数の増減状況ですが、絶対値を取り扱うためには、関数がどの区間で正または負であるかを厳密に求めることが求められます。

そのため、増減表だけで絶対値を外すことはできず、区間ごとに積分を分ける必要があるのです。

積分の問題で絶対値を含む場合、増減表を使うだけでは正しい答えを導くことができません。絶対値の中身が正か負かを判定し、それに応じて積分区間を分けて計算する必要があります。正しい手順を踏んで計算することで、確実に答えを導くことができます。