組み合わせの確率問題を余事象を用いて解く方法の詳細解説

数学の組み合わせに関する問題では、余事象を用いて解答を求める方法が有効です。特に、積が8や12の倍数となる確率を求める際に余事象を使うことで、計算を簡単にすることができます。この記事では、余事象を使った確率の計算方法を詳しく解説し、具体的な問題を通してその手法を学んでいきます。

問題の概要と余事象の使い方

今回の問題では、色もすべて異なる玉を3個取り出す問題です。条件として、積が8の倍数または12の倍数となる確率を求めることが求められています。このような確率を求める際、余事象を使うことが効果的です。

余事象とは、ある事象が起こらない場合の確率です。つまり、積が8の倍数や12の倍数でない場合を考え、その確率を求めた後で、1からその確率を引くことで求める方法です。これを用いることで、計算が簡単になります。

積が8の倍数でない場合を考えます。積が8の倍数になるためには、2が2個以上含まれている必要があります。したがって、積が8の倍数でない場合は、2を2個以上含まない場合となります。この場合の確率を求めるには、まず2を1個または含まない場合を計算し、余事象を使って求めます。

計算の流れとしては、まず、2を含まない場合の確率を求め、次に2を1個だけ含む場合の確率を計算します。そして、これらを合計した後、全体の確率から引くことで、積が8の倍数でない確率を求めることができます。

次に、積が12の倍数でない場合を考えます。積が12の倍数になるためには、3を1個以上含み、かつ2を2個以上含む必要があります。したがって、積が12の倍数でない場合は、3を含まないか、2を1個以下しか含まない場合となります。

この場合も、まず3を含まない場合や2を1個以下しか含まない場合を計算し、それらを合計して余事象を使って積が12の倍数でない確率を求めます。

問題1、問題2、問題3についても、余事象を利用して解答を求めることができます。それぞれの問題で、特定の条件を満たさない場合を計算し、その確率を1から引くことで、条件を満たす確率を得ることができます。

例えば、問題1では、青玉、緑玉、黄玉、白玉の16個から3個を取り出す場合、積が8の倍数や12の倍数でない確率を求め、それを余事象で計算することができます。同様に、問題2や問題3でも余事象を使って計算できます。

余事象を用いることで、複雑な確率計算を簡単に解くことができます。今回の問題では、積が8の倍数や12の倍数となる確率を求める際に余事象をうまく利用しました。これにより、計算を簡潔にし、正確な答えを得ることができました。余事象を使うことの重要性とその適用方法を理解し、今後の確率問題に役立ててください。