積分 ∫ -∞→∞ x / {π(1 + x^2)} dx の収束性について

この質問では、積分 ∫ -∞→∞ x / {π(1 + x^2)} dx の収束性について考えます。具体的には、この積分が収束するかどうかを確かめ、その理由を説明します。

1. 積分の形式の確認

まず、与えられた積分は次のようになります。

∫_-∞^∞ x / {π(1 + x²)} dx

この積分は、分母に (1 + x²) が含まれており、分子には x が含まれています。式の形式としては、一般的に収束するかどうかを判断するのに重要な情報を持っています。

ここで、積分が収束するかどうかを考えるために、まずこの積分が奇関数であるかどうかを確認しましょう。

関数 f(x) = x / (π(1 + x²)) は、f(-x) = -f(x) であるため奇関数です。奇関数の積分は、対称区間 [-∞, ∞] での積分がゼロになることが知られています。

したがって、積分の値はゼロであると考えられます。この点が計算結果と一致する理由です。

積分の収束性を確かめるために、次に無限大での振る舞いを見てみましょう。

関数 f(x) = x / (π(1 + x²)) は x が大きくなるにつれて、1 + x² が急速に増加し、分子の x はそれほど急激に増加しません。このため、無限大での振る舞いを考えると、この積分は収束します。

与えられた積分は、奇関数であるため、対称区間 [-∞, ∞] で積分するとゼロになります。さらに、関数の収束性についても確認でき、積分の結果はゼロであることが確認されました。

したがって、積分 ∫ -∞→∞ x / {π(1 + x²)} dx は収束し、その値はゼロになります。