微分方程式 x^2y” + x(x+1)y’ + (x-9)y = 0 の一般解を求める方法

大学数学

2026.02.12

与えられた微分方程式 x^2y” + x(x+1)y’ + (x-9)y = 0 の一般解を求めるために、まずその特徴を理解し、解法を順を追って解説します。この記事では、この微分方程式を解く方法とその過程について詳しく説明します。

微分方程式の確認と分類

まず、与えられた微分方程式 x^2y” + x(x+1)y’ + (x-9)y = 0 は、2階の線形微分方程式です。この方程式は、変数係数の線形微分方程式であり、定数係数の微分方程式とは異なります。解くためには、変数分離法や定積分法を使用することが有効です。

微分方程式を解くために、まずその標準形を確認します。x^2y” + x(x+1)y’ + (x-9)y = 0 の形は、既に標準的な形に近いですが、もし変数変換を行うなら、解法が簡単になる可能性があります。ここでは、特にxを変数として考えることで、解法を進めます。

方程式は次の形になります：
y” + rac{x(x+1)}{x^2}y’ + rac{x-9}{x^2}y = 0

次に、この微分方程式の特性方程式を求めるために、適切なアプローチとして、指数関数的な解を仮定することが一般的です。そこで、仮定解として y = x^r の形を試みます。これを方程式に代入すると、rの値を求めることができます。

代入後、得られる式により、rの値を求めることができ、このrを使って解を導きます。特性方程式は次のように書き直すことができます。

特性方程式を解くことで、rの値を求め、それを元に一般解を導きます。一般解は、rの異なる値を使って解くことができます。

これらを組み合わせることで、微分方程式 x^2y” + x(x+1)y’ + (x-9)y = 0 の解を完全に求めることができます。

微分方程式 x^2y” + x(x+1)y’ + (x-9)y = 0 の一般解を求めるためには、変数分離法や特性方程式の解法を使用します。特性方程式の解から、一般解を導くことで、解を求めることができます。数学的な手法を理解することで、このような問題を解く力をつけることができます。