今回の問題では、正の整数αとβについて、それぞれの剰余を使って式を簡単化し、最後に5α² – 3β²を6で割った余りを求めます。以下の手順で解いていきます。
問題の整理
与えられた条件に基づき、次のことがわかっています。
- αを6で割ると余りが5
- βを6で割ると余りが3
この条件を式にすると、α = 6k + 5、β = 6m + 3（k, mは整数）となります。
5α² – 3β²の式を展開する
まず、与えられた式5α² – 3β²を整理します。α = 6k + 5、β = 6m + 3を代入してみましょう。
α² = (6k + 5)² = 36k² + 60k + 25
β² = (6m + 3)² = 36m² + 36m + 9
この式を5α² – 3β²に代入します。
5α² = 5(36k² + 60k + 25) = 180k² + 300k + 125
3β² = 3(36m² + 36m + 9) = 108m² + 108m + 27
したがって、5α² – 3β² = (180k² + 300k + 125) – (108m² + 108m + 27) となります。
余りの計算
次に、5α² – 3β²を6で割った余りを求めます。まずは、6で割ったときの各項の余りを計算しましょう。
- 180k²は6で割り切れるので、余りは0
- 300kは6で割ると余りが0
- 125を6で割ると余りが5
- 108m²は6で割り切れるので、余りは0
- 108mも6で割ると余りは0
- 27を6で割ると余りが3
したがって、5α² – 3β²の余りは、5 – 3 = 2となります。
結論
以上より、5α² – 3β²を6で割った余りは2であることがわかりました。
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