二次関数の問題でつまずきやすいのが「平方完成の手順」と「最大値・最小値の考え方」です。式変形の意味が分からないまま進むと、途中で混乱してしまいがちです。この記事では、平方完成の基本手順を一つずつ丁寧に確認しながら、最大値・最小値の考え方まで自然につながるように解説します。
平方完成とは何をしているのか
平方完成とは、二次式を(x＋a)2＋bの形に直す操作です。この形にすると、グラフの形や最大値・最小値が一目で分かるようになります。
特に係数がマイナスの場合は「下に開く放物線」になるため、平方完成をすると最大値がすぐに判断できるようになります。
与えられた式を平方完成する手順
今回の式は−12x2−12x＋9です。まずはxが付く項から−12をくくり出します。
−12x2−12x＋9＝−12(x2＋x)＋9
次に、かっこ内を平方完成します。xの係数1の半分は1/2なので、それを使います。
x2＋x＝(x＋1/2)2−1/4
これを元の式に戻します。
−12{(x＋1/2)2−1/4}＋9＝−12(x＋1/2)2＋3＋9
整理すると、
−12(x＋1/2)2＋12
最大値はどこで決まるのか
平方完成した形を見ると、(x＋1/2)2は0以上になることが分かります。そこにマイナスが掛かっているため、全体は0のときが一番大きくなります。
つまり最大値は12で、x＝−1/2のときに取ります。よくある誤解ですが、この式の最大値は17/2ではありません。
定義域があるときの最小値の考え方
次にxが−1≦x≦1の範囲にある場合を考えます。この二次関数は下に開くため、最小値は端のどちらかで取ります。
x＝−1のときは、−12(1)+12+9＝9、x＝1のときは、−12−12＋9＝−15です。
したがって、この範囲での最小値は−15となります。
平方完成ができると何が楽になるか
平方完成ができるようになると、最大値・最小値の問題だけでなく、グラフの形や軸の位置もすぐに分かるようになります。
「なぜこの数を足すのか」「なぜ最大になるのか」を式の形から理解できるようになると、計算暗記ではなく考える数学に変わります。
まとめ
平方完成は、二次関数を理解するための重要な道具です。今回の式では、平方完成によって最大値が12であること、範囲があるときの最小値が−15であることが自然に分かりました。手順を一つずつ確認しながら練習すれば、必ず使いこなせるようになります。
コメント