連立一次方程式と行基本変形：解が変わらない理由とその証明

連立一次方程式を解く際に行基本変形を使用することは、非常に重要な手法ですが、なぜこの操作を行っても解が変わらないのかについての疑問が生じることがあります。この記事では、行基本変形を行っても解が変わらない理由とその理論的背景について詳しく解説します。

1. 行基本変形とは？

まず、行基本変形とは、行列の行に対して行う基本的な操作で、主に次の3つの種類があります。

これらの操作は行列の形を変化させますが、連立一次方程式の解に直接的な影響を与えません。

連立一次方程式を行列形式で表現した場合、行基本変形はその行列を変形させても、元の連立一次方程式の解を保つための重要な操作です。これは、行列に対する行基本変形が、連立方程式の解を変化させることなく、新しい形に変換するためです。

例えば、行基本変形を使って拡大係数行列を簡単な形に変えることで、解を求める作業が効率的に行えるようになりますが、この操作は方程式の解を変更しません。

行基本変形を行っても解が変わらない理由は、行基本変形が線形代数的に「解空間」を変えない操作だからです。具体的には、行基本変形は解の集合に対して適用される操作で、解空間を変化させることなく、解の組み合わせを変換するだけです。

たとえば、ある行に他の行を加える操作は、方程式に新しい情報を追加するのではなく、既存の情報を使ってより簡潔な形にするものです。したがって、この操作を行った後でも、解そのものには影響を与えません。

行基本変形を行った結果、連立一次方程式の解が変わらないことを証明するために、次のような理論を考えます。まず、任意の連立一次方程式を行列形式で表し、その解を求める過程で行基本変形を適用します。

行基本変形を施した後でも、行列のランクや解の数に変化はありません。なぜなら、行基本変形は単に行列の形を変えるだけで、元の行列の解に関連する構造には影響を与えないからです。

実際に行基本変形を使用した連立一次方程式の解法を見てみましょう。以下の連立方程式を考えます。

x + y = 3

2x + 3y = 7

これを行列形式に変換すると。

[1, 1 | 3]

[2, 3 | 7]

ここで行基本変形を使って簡単な形に変えた後、解は同じままです。行列の変形によって解が変わることはありません。

連立一次方程式を解く際に行基本変形を使用することで、計算が簡素化され、解を求める効率が大きく向上します。重要なのは、行基本変形が解そのものを変化させることなく、問題の扱いやすさを改善するという点です。

この理論を理解し、実際の問題に適用することで、より効果的に連立一次方程式を解くことができるようになります。