三角関数の計算は、高校数学において非常に重要なテーマです。特に、角度が特定の分数倍πの場合の三角関数の値を求める方法を理解することは、試験や実際の問題解決において役立ちます。この記事では、与えられた問題を基に三角関数の値を求める方法を解説します。
(1) sin(8/3π) の計算方法
まず、sin(8/3π)を計算します。8/3πは、360°の範囲を超えた角度です。このような場合、まずは角度を1周する360°（2π）で割って、円周上のどの位置に対応するかを考えます。
8/3πは2πより大きいので、2πを引いて範囲内に収めると、8/3π – 2π = 2/3πとなります。したがって、sin(8/3π) = sin(2/3π) となり、この値は√3/2です。
(2) cos(17/6π) の計算方法
次に、cos(17/6π)を計算します。まず、17/6πは360°を超える角度ですので、同じように1周（2π）を引いて計算します。
17/6π – 2π = 17/6π – 12/6π = 5/6πです。よって、cos(17/6π) = cos(5/6π)となり、この値は-√3/2です。
(3) tan(13/4π) の計算方法
tan(13/4π)を計算するには、まず13/4πが360°を超える角度であることに注目し、同じように1周分を引きます。
13/4π – 2π = 13/4π – 8/4π = 5/4πです。したがって、tan(13/4π) = tan(5/4π)となり、この値は-1です。
(4) sin(19/3π) の計算方法
sin(19/3π)は、19/3πが1周を超えているので、同じ方法で範囲を求めます。
19/3π – 2π = 19/3π – 6/3π = 13/3πです。13/3π – 2π = 7/3πとなります。sin(7/3π) = sin(π/3)となり、この値は√3/2です。
(5) cos(5/4π) の計算方法
cos(5/4π)の計算も、まずは5/4πを範囲内に収めます。
5/4πは1周分（2π）を引くと、5/4π – 2π = -3/4πとなり、cos(-3/4π) = cos(3/4π)となります。この値は-√2/2です。
(6) tan(-π/6) の計算方法
tan(-π/6)は、負の角度ですが、tanは奇関数なので、tan(-θ) = -tan(θ)という性質を利用します。
したがって、tan(-π/6) = -tan(π/6) = -√3/3です。
(7) sin(-9/2π) の計算方法
sin(-9/2π)は、-9/2πが360°を超える負の角度なので、1周分（2π）を足して計算します。
-9/2π + 2π = -9/2π + 4/2π = -5/2πとなり、sin(-5/2π) = sin(π/2)となります。この値は1です。
(8) cos(-31/3π) の計算方法
cos(-31/3π)も負の角度ですが、同じように1周分を足します。
-31/3π + 2π = -31/3π + 6/3π = -25/3πとなり、cos(-25/3π) = cos(π/3)となります。この値は1/2です。
まとめ
三角関数の計算は、与えられた角度を360°の範囲内に収めることで、より簡単に解くことができます。特に、単位円や三角関数の性質を活用することで、さまざまな角度に対して値を計算できます。この記事では、具体的な計算手順を示しましたので、ぜひ参考にしてください。
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