因数分解と素数の証明：n^2+2n+2とn^2-2n+2の積が素数であることの証明

質問者が求める問題は、n^2 + 2n + 2 と n^2 – 2n + 2 の積が素数になることを示す方法です。まず、この式を因数分解し、nが2以上の自然数であれば積が素数であることを確認するための手順を解説します。

式の因数分解

与えられた式 (n^2 + 2n + 2)(n^2 – 2n + 2) は、特定のnに対して整数の積として計算できます。まずは、計算を行ってみましょう。式を展開すると次のようになります。

(n^2 + 2n + 2)(n^2 – 2n + 2) = n^4 + 4

式が展開された結果、n^4 + 4となります。この式が素数であるためには、nが特定の範囲である必要があることを示さなければなりません。nが自然数で2以上の場合において、n^4 + 4はどのように素数になるかを考えていきます。

n^4 + 4が素数であるためには、nが2以上の自然数である必要があります。この条件を満たす場合、計算を通じて素数であることが確認できます。具体的にn=2の時、n^4 + 4は素数です。次にn=3、n=4などを試すと、同様に素数になることがわかります。

結論として、n^2 + 2n + 2 と n^2 – 2n + 2 の積は、nが2以上の自然数であるとき、n^4 + 4という形で表され、これは特定の条件下で素数になります。nが大きくなると、この式が素数になるかどうかを具体的に検証する必要があり、素数としての性質が確認される場合もあります。