ユークリッドの互除法を使ってax + by = c の解法を簡単に理解する方法

ユークリッドの互除法は、最大公約数を求めるための方法としてよく知られていますが、「ax + by = c」のような線形ディオファントス方程式を解くためにも使われます。この記事では、初心者でもわかりやすいように、互除法の仕組みをシンプルに解説します。

ユークリッドの互除法とは？

ユークリッドの互除法は、2つの整数の最大公約数（GCD）を求める方法です。簡単に言うと、ある2つの整数が割り切れる最大の数を求める方法です。例えば、12と15の最大公約数を求める場合、互除法を使うと簡単に求められます。

この方法では、2つの数を順番に割り続け、余りが0になるまで割り算を繰り返すことで、最大公約数を求めます。

次に、ax + by = c のような式を解く方法について説明します。この式の解は、整数xとyを求める問題です。このような式を解くために、まず最大公約数を求め、その後に解を導きます。

まず、aとbの最大公約数をユークリッドの互除法を使って求めます。その後、最大公約数がcに割り切れる場合にのみ解が存在することを確認します。

1. まず、aとbの最大公約数gcd(a, b)をユークリッドの互除法で求めます。
2. 次に、gcd(a, b)がcを割り切る場合に、ax + by = c の整数解が存在することが分かります。
3. 具体的に解を求めるには、逆行列や拡張ユークリッドのアルゴリズムを使います。

例えば、3x + 5y = 1という式の解を求める場合、まず3と5の最大公約数を求めます。gcd(3, 5)は1です。

次に、1 = 3x + 5y という式の解を求めるために、ユークリッドの互除法を使って、xとyの整数解を求めます。これにより、特定のxとyの組み合わせが得られます。

ax + by = c の問題を解く上で、最大公約数は非常に重要です。なぜなら、aとbの最大公約数がcを割り切らない場合、解は存在しないからです。つまり、最大公約数を使うことで、この問題が解けるかどうかを判定できるのです。

ユークリッドの互除法を理解することで、最大公約数を求めるだけでなく、ax + by = c のような方程式の整数解も求めることができます。最初は難しく感じるかもしれませんが、実際に手を動かして計算していくことで、次第にその仕組みが分かるようになります。

この方法を使って問題を解けるようになれば、数学の問題が楽しく感じるようになるでしょう。焦らず、ゆっくりと理解を深めていきましょう。