放物線と直線で囲まれた図形の面積を求める問題

この問題では、放物線Cと直線m、そしてそれらで囲まれる図形T、さらには放物線Dと直線lで囲まれる図形Sの面積が等しい条件をもとに、与えられた式を使ってaの値を求める方法について解説します。

問題の設定

問題は、y = ax^2 – (2a^2)x を放物線C、y = (1/2a^2)x を直線mとし、Cとmで囲まれた図形Tと、y = (-2a^2)x を直線l、そしてx軸に関してCと対称な放物線Dで囲まれた図形Sの面積が等しいというものです。

まず、Cとmで囲まれた図形Tの面積を求めるためには、積分を使って面積を計算します。Cとmが交わる点を求め、その間で積分を行う必要があります。積分範囲は、Cとmが交わるxの範囲を計算して設定します。

次に、Dとlで囲まれた図形Sの面積を計算します。DはCのx軸に関して対称な放物線であるため、同様に積分を使って面積を求めます。Dとlが交わる点を求め、その間で積分を行います。

TとSの面積が等しいという条件から、積分結果を使ってaの値を求めます。これにより、aの値を求める式が得られ、最終的にaの値が決定されます。

この問題では、積分を使って図形の面積を求め、その面積が等しい条件を使ってaの値を求める方法を説明しました。求められるaの値によって、面積が等しいという条件を満たす解が得られます。