y = px^2 + qx + r における接線の計算問題

この問題では、二次関数の接線の傾きを求め、与えられた条件から係数 q と r を求める方法について解説します。具体的には、関数 y = px^2 + qx + r が点 A（1,1）において、直線 y = 2x – 1 と接する条件を用いて、q と r を p を用いて表す問題です。

問題の設定

与えられた問題は、関数 C: y = px^2 + qx + r と直線 l: y = 2x – 1 が点 A(1,1)で接するというものです。この接線の傾きを求めることで、係数 q と r を求めることができます。

接線の傾きは、関数の導関数によって求めます。関数 C の導関数は、y = px^2 + qx + r の場合、dy/dx = 2px + q です。点 A(1,1) での接線の傾きを求めるためには、x = 1 を代入します。

2p(1) + q = 2 となり、ここから傾きを 2 とする条件が得られます。

接線の傾きを求めた後、次に q と r を p に関して求めます。点 A(1,1) を通るため、y = px^2 + qx + r に x = 1, y = 1 を代入して、r を求めます。

1 = p(1)^2 + q(1) + r から、r = 1 – p – q となります。

q を求めるために、接線の傾きの式 2p(1) + q = 2 を解くと、q = 2 – 2p となります。

最終的に、与えられた条件から求められる q と r の式は、q = 2 – 2p と r = 1 – p – q です。これにより、p の値を使って q と r を求めることができます。