素数が無限個あることの証明とその誤解を解く

素数が無限にあることは、ユークリッドによって証明されました。しかし、素数の定義や証明方法に関して疑問を持つこともあるでしょう。特に、2, 3, 5, 7だけが素数だと仮定して、11の素数性を確認する証明がなぜ成立しないのかについて詳しく解説します。

誤った仮定: 素数は2, 3, 5, 7だけ

質問者が示したように、2, 3, 5, 7しか素数がないと仮定し、その後に11が素数であることを確認するのは、確かに一見矛盾に見えるかもしれません。しかし、この仮定自体が誤りであり、数学的に正しい証明には他のアプローチが必要です。

ユークリッドの素数の無限性証明

ユークリッドの証明方法によると、もし素数が有限個しか存在しないと仮定した場合、そのすべての素数を掛け合わせた数に1を加えた数が、必ず新たな素数を生むことが示されています。この証明方法では、すべての素数を挙げたとしても、必ず新たな素数が見つかるため、素数は無限に存在することが確定します。

たとえば、2, 3, 5, 7という素数をすべて掛け合わせた数に1を加えると、210 + 1 = 211になります。この211は、2, 3, 5, 7で割り切れることはありません。したがって、211は新しい素数であるため、素数は無限に存在します。

なぜ仮定が誤りなのか

質問者が示した証明の方法では、「2, 3, 5, 7しか素数がない」と仮定した状態で進めていますが、これはユークリッドの証明方法と矛盾します。この仮定に従うと、11を新たな素数として見つけることができないため、そもそもその証明自体が誤りであると言えます。ユークリッドの証明に基づけば、素数は有限ではなく無限であることが示されます。

まとめ

素数が無限に存在することは、ユークリッドの証明によって確立された理論であり、単に数を挙げていく方法では不完全な証明となります。素数が有限個しかないという仮定を立てること自体が誤りであり、正しい証明にはユークリッドの方法を使用することが重要です。このように、数学的な証明を行う際は、誤った仮定や方法に頼らず、確立された理論に基づいて証明を行うことが求められます。