相似な円錐の表面積の求め方: 数学の問題解説

質問者が遭遇した数学の問題では、相似な円錐AとBの表面積を求める問題について疑問が生じていました。特に、与えられた条件に基づいて求められる表面積が不一致だったため、正しい解法を確認するためにこの問題を解説します。

1. 問題の確認と必要な情報

問題文には、相似な2つの円錐AとBがあり、底面の半径の比は3対4と記載されています。円錐Aの表面積が27m²であるとき、円錐Bの表面積を求める問題です。表面積を求めるためには、円錐の表面積公式を理解することが重要です。

円錐の表面積は、底面積と側面積を合わせたものです。公式は次の通りです。

表面積 = πr(r + l)

ここで、rは底面の半径、lは斜辺の長さ（母線）です。相似な図形では、対応する長さが比例しているため、円錐Aと円錐Bの比率は底面半径の比と同じになります。

相似な円錐AとBの底面半径の比は3対4です。この場合、相似な図形の表面積比は底面半径の比の2乗に比例します。したがって、円錐Aと円錐Bの表面積比は次のように求められます。

表面積比 = (3/4)² = 9/16

円錐Aの表面積が27m²であることから、円錐Bの表面積を求めるには、次の計算を行います。

円錐Bの表面積 = 27m² × (16/9) = 48m²

したがって、円錐Bの表面積は48m²となります。質問者が疑問に思った12cm²の答えは誤りであり、正しい答えは48m²です。

相似な円錐の表面積を求める問題では、底面半径の比を使って表面積比を求めることができます。相似比を適用し、適切に計算を行うことで正しい解答を得ることができます。今後、同様の問題に直面した際には、この方法を参考にしてみてください。