三角関数のグラフは、周期的な性質を持っており、特にコサイン関数などでは簡単にその形を把握できます。しかし、引数がシフトしたり、拡大されたりすると、グラフの形が少し複雑になります。この記事では、y = cos2(θ – π/3) のグラフがどのように変化するか、そしてその周期の求め方について解説します。
y = cos2(θ – π/3) の基本的な形
まず、y = cosθ の基本的なグラフを思い浮かべてください。このグラフは、θ = 0 から始まって、波のように上下に振動し、周期 2π で一巡します。y = cos2θ のように、θ の前に 2 がつくと、グラフの波の間隔が半分に縮まります。つまり、周期が 2π から π に変わることがわかります。
さらに、y = cos(θ – π/3) という形では、グラフが右に π/3 だけシフトします。これは引数の変化がグラフを水平方向に平行移動させるためです。
グラフの周期の求め方
y = cos2(θ – π/3) の周期を求めるためには、まず cos2θ の周期を考えます。通常、y = cosθ の周期は 2π ですが、2倍の係数がついているため、周期が縮んで π になります。
したがって、y = cos2θ の周期は π であり、この周期にシフトを加えた場合でも周期に変化はありません。つまり、y = cos2(θ – π/3) のグラフも周期は π です。
シフトの影響とグラフの描き方
次に、y = cos2(θ – π/3) のグラフがどのようにシフトされるかを考えてみましょう。θ – π/3 の部分が意味するのは、グラフ全体を右方向に π/3 単位だけ移動させることです。このようなシフトは、x 軸の移動に対応し、グラフの形そのものには影響を与えません。
したがって、y = cos2(θ – π/3) のグラフは、y = cos2θ の波形をそのまま右に π/3 だけ移動させたものになります。グラフの形は変わらず、ただし始点が π/3 だけ右にずれます。
実際のグラフの描き方
y = cos2(θ – π/3) のグラフを描くためには、まず基本的な cos2θ のグラフを描き、その後で右に π/3 だけ平行移動させます。具体的な手順は次の通りです。
1. y = cos2θ のグラフを描きます。このグラフは、0 から始まり、π の間隔で波が繰り返されます。
2. 次に、このグラフを右に π/3 だけ移動させます。これが、y = cos2(θ – π/3) のグラフになります。
まとめ
y = cos2(θ – π/3) のグラフは、y = cos2θ のグラフを右に π/3 だけシフトさせたものです。周期は π であり、基本的な形は変わらず、シフトのみが加わるため、グラフの描き方は非常にシンプルです。この理解を基に、他の三角関数の変形についても応用できるようになります。
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