物理の問題：関数と最大値の求め方の解説

物理の問題を解く際、特に関数や最大値を求める問題はよく出題されます。ここでは、関数の変形や極大値・極小値を求める方法を例として解説します。問題文に基づいて、与えられた式を整理し、どのように最大値を求めるのかをわかりやすく説明します。

問題の整理と変数の定義

問題文において、与えられた式は次のようになります。

y = (log₁/₂ x)³ + a(log√2 x)(log₄ x³) という式で、ここでx > 0 であることが条件です。

まず、t = log₂ x とおくことで、式を簡単に整理できます。これにより、log₁/₂ x や log√2 x などの項をtに置き換えます。結果として、式は次のように変形されます。

y = (-t)³ + a(2t)(3t/2) = -t³ + 3at²

次に、xが1/2≦x≦8の範囲でyの最大値を求めます。まず、tの範囲を求めます。

-1 ≦ t ≦ 3 という範囲内で最大値を求めるため、y = -t³ + 3at² の式を微分して、極大値と極小値を求めます。

微分した結果、f'(t) = -3t² + 6at となり、f'(t) = 0 とおくと、t = 0 と t = 2a が求められます。

次に、増減表を作成して、yの増減を確認します。

増減表を作成すると、t = 0 で極小値、t = 2a で極大値を持つことが分かります。さらに、式f(t) = 4a³における最大値はt = 2aで得られます。

さらにtの値を求めると、式t³ – 3at² + 4a³ = 0 から、t = 2a, -aの解が得られます。

最大値Mはaの範囲により異なります。

・ 0 < a < 1 の場合、最大値 M = 3a + 1

・ 1 ≦ a < 3/2 の場合、最大値 M = 4a³

・ a ≧ 3/2 の場合、最大値 M = 27a – 27

この問題では、式の変形や微分を用いて最大値を求めました。物理の問題を解く際には、関数の変形や微分を駆使して解答を導き出すことが重要です。また、範囲に応じて最大値を求める方法についても学ぶことができます。