有理数Qは整数Zの拡張であることの証明について

数学において、有理数（Q）が整数（Z）の拡張であることを示す証明の一例として、関数φ: Z → Qを定義する方法があります。この証明の進行方法について説明します。

関数φの定義とその目的

まず、φ: Z → Qを次のように定義します。

φ(x) = ＜x, 1＞

ここで、＜x, 1＞は有理数x/1を意味しています。これは、整数xを分子、1を分母として有理数に対応させる方法です。

次に、このφが整数Zから有理数Qへの単射であることを示す必要があります。具体的には、任意の整数xに対して、φ(x) = x/1が有理数であるため、すべての整数は有理数に対応します。

また、φは単射であるため、異なる整数x1, x2に対して、φ(x1) ≠ φ(x2)が成り立ちます。これにより、φが整数Zを有理数Qに正確に対応させていることが確認できます。

このようにして、φ(x) = ＜x, 1＞という関数を使うことで、整数Zが有理数Qの部分集合であり、QがZの拡張であることが示されます。

証明は、このφという関数を定義することにより、QがZの拡張であることを理解するための基本的な一歩となります。