中学3年生の数学で出てくる2次方程式の問題では、与えられた条件を基に数式を立てて解く力が求められます。今回は、「一の位と十の位の数の和が13である2桁の整数」が、与えられた条件に合う数を求める問題を解説します。
問題の理解
問題では、次の条件が与えられています。
- 2桁の整数があり、その一の位と十の位の数の和が13である。
- その整数は、一の位の数より2だけ小さい数の2乗に等しい。
これらの条件を使って数を求める方法を順を追って説明していきます。
ステップ1: 数字の構造を理解する
まず、2桁の整数を「10a + b」と表すことができます。ここで、aは十の位の数、bは一の位の数です。このとき、次の2つの条件が与えられています。
- a + b = 13（十の位と一の位の和が13）
- 10a + b = (b – 2)^2（整数が一の位の数より2だけ小さい数の2乗に等しい）
これらの条件を使って方程式を立てていきます。
ステップ2: 方程式を解く
まず、a + b = 13という式からaをbを使って表します。
a = 13 – b
次に、このaを(10a + b) = (b – 2)^2に代入します。
10(13 – b) + b = (b – 2)^2
これを展開して整理します。
130 – 10b + b = (b – 2)^2
130 – 9b = b^2 – 4b + 4
これを更に整理して、bの2次方程式にします。
b^2 + 5b – 126 = 0
ステップ3: 2次方程式を解く
b^2 + 5b – 126 = 0という2次方程式を解くために、解の公式を使用します。
b = (-5 ± √(5^2 – 4 × 1 × (-126))) / 2 × 1
b = (-5 ± √(25 + 504)) / 2
b = (-5 ± √529) / 2
b = (-5 ± 23) / 2
したがって、b = 9 または b = -14です。しかし、bは一の位の数なので、b = 9とすることが分かります。
ステップ4: 最終解
b = 9がわかったので、a = 13 – 9 = 4 となります。
したがって、求める2桁の整数は「49」です。
まとめ
この問題では、与えられた条件を基に方程式を立て、2次方程式を解くことで正しい答えを導くことができました。最終的に求めた2桁の整数は「49」です。このように、条件を順番に整理しながら解いていくことで、数学の問題を解く力を高めることができます。
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