dy/dxの求め方：パラメトリック方程式を使った微分の解法

dy/dxを求める問題では、与えられたパラメトリック方程式から、tに関する導関数を求めることが一般的です。この記事では、2つの異なるパラメトリック方程式について、どのようにしてdy/dxを求めるか、わかりやすく解説します。

問題1: x = (1 – t²) / (1 + t²), y = 2t / (1 + t²) の微分

まず、最初の方程式 x = (1 – t²) / (1 + t²) と y = 2t / (1 + t²) を用いて、dy/dxをtの式で求める方法を解説します。

パラメトリック方程式では、dy/dx を求めるためには、まず dx/dt と dy/dt を計算し、それらを用いて求めます。

まずは、xの微分を行います。x = (1 – t²) / (1 + t²) の微分は、商の微分法則を使用して計算します。

dx/dt = ( (1 + t²) * (-2t) – (1 – t²) * (2t) ) / (1 + t²)²

次に、yの微分を計算します。y = 2t / (1 + t²) の微分は、再び商の微分法則を使用します。

dy/dt = ( (1 + t²) * 2 – 2t * 2t ) / (1 + t²)²

この2つを求めた後、dy/dx は次の式で計算できます。

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

計算結果として、dy/dx は次のように求められます。

dy/dx = (2(1 + t²) – 4t²) / ((1 + t²) * (1 + t²)) = (2 – 2t²) / (1 + t²)²

次に、x = √(1 + t²) と y = 3t² の微分を求めます。この問題も同様に、まず dx/dt と dy/dt を求め、それらを使ってdy/dxを求めます。

x = √(1 + t²) の微分は、チェーンルールを使用して次のように求めます。

dx/dt = (1 + t²)^(1/2) の微分は、1/2 * (1 + t²)^(-1/2) * 2t ですから、dx/dt = t / √(1 + t²) となります。

次に、y = 3t² の微分は簡単です。

dy/dt = 6t

したがって、dy/dx は次のように計算できます。

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (6t) / (t / √(1 + t²)) = 6t * √(1 + t²) / t

最終的に、dy/dx = 6√(1 + t²) となります。

パラメトリック方程式を微分する方法では、まず各変数（x と y）のtに関する導関数を求め、それらを用いてdy/dxを計算します。商の微分法則やチェーンルールを駆使して計算することで、複雑な微分も解くことができます。

上記の2つの問題を通じて、パラメトリック方程式の微分の基本的なアプローチと計算方法が理解できたと思います。微分を実践的に使うためには、これらの基本をしっかりと押さえておくことが重要です。