y = sin²(x/2) の微分方法をわかりやすく解説

微分の基本的なテクニックを使って、関数 y = sin²(x/2) を微分する方法を解説します。三角関数の微分では、合成関数の微分や積の微分を使う場面がよくあります。この記事では、その手順をわかりやすく説明していきます。

関数 y = sin²(x/2) の微分を始める前に

まず、与えられた関数 y = sin²(x/2) を微分するには、いくつかの微分のルールを適用する必要があります。この式は「合成関数」や「二重角の公式」に関わる部分があり、適切な微分法則を使うことが重要です。

この関数をそのまま微分するのではなく、まず式を少し変形して、微分しやすくします。

y = sin²(x/2) を微分するためには、まず「二乗の微分」ルールを使います。具体的には、y = [sin(x/2)]² という形に分けることができます。

次に、合成関数の微分を行います。合成関数の微分では、外側の関数を微分して内側の関数をそのまま残し、その後に内側の関数を微分するという手順を踏みます。

この場合、外側の関数は sin²(u)（u = x/2）であり、内側の関数は sin(x/2) です。

まず、外側の関数 sin²(u) を微分すると、2 * sin(u) * cos(u) になります。そして、内側の関数 u = x/2 を微分すると、1/2 になります。

これらを組み合わせると、次のような式になります。

dy/dx = 2 * sin(x/2) * cos(x/2) * (1/2)

ここで、2 と 1/2 がキャンセルされ、最終的に微分結果は次のようになります。

dy/dx = sin(x/2) * cos(x/2)

実は、sin(x/2) * cos(x/2) という式は、三角関数の積を和に変換する公式を使ってさらに簡単にできます。具体的には、次の三角関数の積の公式を使います。

sin(A) * cos(A) = 1/2 * sin(2A)

この公式を使うと、微分結果は次のように変換できます。

dy/dx = 1/2 * sin(x)

最終的に、関数 y = sin²(x/2) の微分は次のようになります。

dy/dx = 1/2 * sin(x)

この結果は、関数 y = sin²(x/2) の変化率を示し、微分の基本的なルールや三角関数の公式を駆使することで求めることができました。微分の手順を一つ一つ確認しながら進めることで、複雑に見える関数も解くことができます。