PDEの標準形への変換：双曲形、放物形、楕円形の判定方法

与えられた偏微分方程式 (PDE) の形式を基に、これを双曲形、放物形、楕円形に変換する方法について解説します。この問題では、方程式を標準形に変換し、どのタイプの偏微分方程式かを判定します。

問題の整理

与えられた方程式は次の通りです。

x²(∂²z/∂x²) – 4xy(∂²z/∂x∂y) + 4y²(∂²z/∂y²) + 2x(∂z/∂x) = 0

この方程式の形式を双曲形、放物形、楕円形に分類するためには、まず各項の係数を整理し、ディスクリミナント（判別式）を計算する必要があります。

偏微分方程式のタイプを判別するためには、次のように行います。

一般的な2階の線形偏微分方程式は、次の形式で表されます。

A(∂²z/∂x²) + 2B(∂²z/∂x∂y) + C(∂²z/∂y²) = 0

ここで、A、B、Cは方程式の係数です。方程式が双曲形、放物形、楕円形のいずれかであるかは、ディスクリミナントΔ = B² – ACを計算することで判別できます。

与えられた方程式を標準形に合わせるために、係数A、B、Cを抽出します。

方程式の中で、x²(∂²z/∂x²)の係数はA = x²、-4xy(∂²z/∂x∂y)の係数はB = -2xy、4y²(∂²z/∂y²)の係数はC = 4y²、そして2x(∂z/∂x)の項は一次の項なので、ディスクリミナントの計算には影響しません。

ディスクリミナントΔを計算します。Δ = B² – AC ですので、次のようになります。

Δ = (-2xy)² – (x²)(4y²) = 4x²y² – 4x²y² = 0

ディスクリミナントΔが0であるため、この方程式は放物形であることがわかります。

与えられた偏微分方程式は、ディスクリミナントΔが0であるため、放物形の偏微分方程式に分類されます。このように、係数を整理し、ディスクリミナントを計算することで、方程式が双曲形、放物形、楕円形のいずれかを判定することができます。