高校数学の問題：f(θ) = k の解の個数とkの範囲を求める方法

この記事では、高校数学の問題「f(θ) = k」の解の個数とkの範囲を求める方法を解説します。特に、t = sinθ + cosθという式を使った解法に焦点を当て、どのようにして正しい答えを導くのかを説明します。

問題の確認と式の展開

与えられた関数は、f(θ) = sin(3θ) – cos(3θ) + sin(2θ) – sin(θ) – cos(θ)です。この関数をkに対して解くためには、まずt = sinθ + cosθという変数を導入することが有効です。

t = sinθ + cosθとおいた場合、-1≦t≦√2という範囲になることがわかります。この変数変換により、f(θ)をより簡単な形に書き換えることができ、問題を解きやすくします。

関数f(θ)の解を求める際、実数解が最も多くなるkの範囲を探るためには、y = 2t³ + t² – 4t – 1という式を用います。この式において、tの範囲は-1≦t≦√2であることを考慮します。

y = 2t³ + t² – 4t – 1を解くことで、kの範囲が-2≦k<1であることがわかります。これが、f(θ) = kの実数解が最大となるkの範囲です。

まず、t = sinθ + cosθを使って、元の式f(θ)を簡単にすることで解を求めやすくします。その後、y = 2t³ + t² – 4t – 1の式を使って、kの範囲を求めることで、解の個数が最大となるkの範囲を導き出します。

実際に計算を進める際には、tの範囲が-1≦t≦√2であることをしっかりと把握し、式の展開を丁寧に行うことが大切です。計算ミスを避けるために、順を追って一つ一つのステップを確認しながら進めましょう。

この問題を解くためには、t = sinθ + cosθという変数を導入し、y = 2t³ + t² – 4t – 1という式を利用することで、実数解の個数が最大となるkの範囲を導き出すことができます。kの範囲は-2≦k<1であることがわかり、これが答えとなります。

数学の問題を解く際には、変数変換や式の展開を活用することで、問題を簡単に解くことができる場合が多いです。こうしたテクニックを身につけることで、複雑な問題でも効率的に解けるようになります。