数学の問題で「正の約数を求めよ」という問題が出たときに、どのように解くべきか、具体的に解説します。この記事では、72と180の正の約数を求める方法を詳しく説明し、理解しやすいようにステップごとに解説します。
1. 正の約数とは
まず、正の約数とは、ある整数を割り切ることができる正の整数のことです。例えば、12の正の約数は1, 2, 3, 4, 6, 12です。正の約数を求めるためには、整数の素因数分解を行い、そこから約数を導き出します。
2. 72の正の約数を求める方法
72の正の約数を求めるために、まずは72を素因数分解します。
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 です。
この素因数分解を使って、72の正の約数を求める方法を考えます。72の約数は、以下のように各素因数の指数を0からその最大値まで変化させることで求めることができます。
約数の組み合わせは、(2^0 × 3^0), (2^0 × 3^1), (2^1 × 3^0), (2^1 × 3^1), (2^2 × 3^0), (2^2 × 3^1), (2^3 × 3^0), (2^3 × 3^1)となり、これらを計算すると、72の正の約数は1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72となります。
3. 180の正の約数を求める方法
次に、180の正の約数を求めます。180の素因数分解を行うと、
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 です。
同様に、素因数分解を使って、180の正の約数を求める方法を考えます。約数の組み合わせは、(2^0 × 3^0 × 5^0), (2^0 × 3^1 × 5^0), (2^1 × 3^0 × 5^0), (2^1 × 3^1 × 5^0), (2^2 × 3^0 × 5^0), (2^2 × 3^1 × 5^0), (2^0 × 3^0 × 5^1), (2^1 × 3^0 × 5^1), (2^2 × 3^0 × 5^1), (2^0 × 3^1 × 5^1), (2^1 × 3^1 × 5^1), (2^2 × 3^1 × 5^1)となり、これらを計算すると、180の正の約数は1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180となります。
4. まとめ
72と180の正の約数を求めるためには、まず素因数分解を行い、その後各素因数の指数を変化させることで、すべての正の約数を求めることができます。この方法を使うことで、どんな整数でもその正の約数を効率的に求めることができるようになります。
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