関数 y = x⁴ - 4x³ + 12 の極値を求める方法

関数 y = x⁴ – 4x³ + 12 の極値を求めるためには、まずその微分を行い、導関数が0となる点を求めることが基本です。この記事では、この関数の極値を求める手順をわかりやすく解説します。

1. 微分して導関数を求める

まず、関数 y = x⁴ – 4x³ + 12 の微分を行います。これにより、関数の増減を示す導関数を得ることができます。微分を行うと、次のようになります。

y’ = d/dx (x⁴ – 4x³ + 12) = 4x³ – 12x²

次に、導関数が0となる x の値を求めます。導関数 y’ = 4x³ – 12x² を0とおいて解きます。

4x³ – 12x² = 0

x²(4x – 12) = 0

ここで、x² = 0 または 4x – 12 = 0 となります。

x = 0 または x = 3

次に、x = 0 と x = 3 で極値が最大か最小かを確認するために、二階導関数を求めます。二階導関数は、関数の凹凸を判断するために使います。

y” = d/dx (4x³ – 12x²) = 12x² – 24x

この二階導関数を x = 0 と x = 3 に代入して、極値の性質を調べます。

y”(x=0) = 12(0)² – 24(0) = 0

y”(x=3) = 12(3)² – 24(3) = 108 – 72 = 36

y”(x=3) = 36 > 0 なので、x = 3 は最小値を持つ点です。

y”(x=0) = 0 では極性を判定できないので、さらに他の方法で確認する必要があります。

x = 0 での性質を確認するためには、一次導関数の変化を見て、x = 0 での増減を調べます。

x < 0 の場合、y' = 4x³ - 12x² は負、x > 0 の場合、y’ は正になるため、x = 0 は変曲点であり、極大値でも最小値でもありません。

関数 y = x⁴ – 4x³ + 12 の極値を求める手順を踏むと、x = 3 で最小値を持つことがわかります。x = 0 は極値ではなく、変曲点であることが確認できました。このように、微分を使って極値を求め、二階導関数でその性質を判定することが極値を求める際の基本的な方法です。