複素積分に関する理解を深めるため、特に対数関数Log[z]の振る舞いやその積分に関する問題は重要です。ここでは、対数関数がz=0を中心に半径1の円を一周した場合の積分と分枝の関係、さらにそれが正則関数になる条件について解説します。
対数関数Log[z]とその分枝
複素数平面上での対数関数Log[z]は、分枝点z=0を持っています。対数関数は通常、複素数の角度によって値が変化するため、単純に積分を行うだけではその振る舞いを理解することはできません。
例えば、z=0を中心に半径1の円を一周する積分を考えると、その結果は2πiになります。この積分値は、対数関数が持つ分枝の影響を示しており、対数関数の定義域がC（mod 2πi）であることが確認できます。すなわち、Log[z]は定義域を2πiの周期で繰り返します。
1/zの積分と正則性
Log[z]の微分である1/zもまた、z=0を中心にした積分において重要な役割を果たします。実際、1/zの積分はC（mod 2πi）全体で0になります。これは、1/zがz=0で持つ特異性（すなわち、単純な極）が積分に与える影響を示しています。
したがって、Log[z]や1/zの積分は、単純な極点の影響やその周囲の定義域に依存していることがわかります。これにより、これらの関数が正則関数でないことが明らかになります。
C（mod 2πi）における積分の結果
C（mod 2πi）は、通常のコーシー積分定理や留数定理を満たさない定義域を持っています。コーシー積分定理は、関数が正則である場合に積分が0になるというものですが、対数関数のように分枝点を持つ関数に対してはこの理論がそのまま適用されるわけではありません。
したがって、C（mod 2πi）における積分結果は、通常の複素積分理論とは異なる動作を示します。例えば、Log[z]における積分が2πiになるように、積分結果はその周回の影響を受け、単純に0にはならないのです。
コーシー積分定理と留数定理の適用範囲
コーシー積分定理や留数定理は、関数がその定義域全体で正則である場合に有効です。しかし、対数関数のように分枝を持つ関数では、これらの定理をそのまま適用することができません。
そのため、これらの定理を適用する際には、関数が正則であることが前提条件となります。分枝点を持つ場合には、これらの定理を用いる前に関数の正則性について十分に理解しておく必要があります。
まとめ
複素積分における対数関数Log[z]の積分に関する問題は、分枝点を考慮する必要があるため、通常の積分定理や留数定理がそのまま適用できないことがわかります。特に、定義域がC（mod 2πi）である場合には、積分結果が異なる動作を示すため、注意が必要です。積分を行う際には、関数の正則性や分枝点を正確に把握することが重要です。
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